Wie erstelle ich eine Erzeugermatrix eines Hamming-Codes?

Um eine Erzeugatrix (Generator Matrix) einenamming-Code zu erstellen folge diesen Sch:

1. **imme die Parameter des H-Codes**:
- Ein Hamming ist ein \([, k]\)-Code, wobei \(n =2^m -1\) undk = n -\). Hierbei istm\) die der Paritätsbits2. **Er die Paritätsprümatrix \(H\)** - Die Parprüfmatrix \(\) hat die \(m \times\).
- Jedealte von \(H) ist eine eindeige nicht-null \(\)-bit Binzahl.

3. **zeuge die Erzeugatrix \(G\:
- Diezeugermatrix \(G) hat die Dimensionk \times n).
- \(\) besteht aus \(k \times k) Einheitsmatrix \(I_k\) einer \(k \times m\) Matrix \(P\), die aus Spalten von \(H\) besteht, die nicht zur Einheits gehören.

Hier ist ein konkretes Beispiel für einen Hamming-Code \([, 4]\) (also \(m = 3\))1. **Bestimme \(n\) und \(k\)**:
- \(n = 2^3 - 1 = 7\ - \(k = 7 - 3 = 4\)

. **Erstelle die Paritätsprüfmatrix \(H\)** \[
H = \begin{pmatrix}
1 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\
0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 0 \\
0 &0 & 1 & 1 & 0 & 1 &
\end{pmatrix}
\]

3. **zeuge die Erzeugermatrix \(G\)**:
- Die Einmatrix \(I_k\) ist:
\[
I_4 \begin{pmatrix}
1 & 0 & & 0 \\
0 & 1 & 0 &0 \\
0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 1
end{pmatrix}
\]
- Die Matrix \(P) besteht aus den ersten \(k\) Spalten von \(H\ \[
P = \begin{pmatrix}
& 1 & 1 \\
1 & 1 &0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
- Kombiniere \(I_k\) und \(\) zu \(G\):
\[
G = \beginpmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 \\
0 &1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \\
0 & 0 & 1 & 0 &1 & 0 & 1 \\
0 & & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\]

Die Matrix \(G\ ist die Erzeugermatrix des Hamming-Codes \([7 4]\).